Adaptive Reduced Basis Methods for Multiscale Problems and Large-scale PDE-constrained Optimization

Modellreduktion ist ein enorm wachsendes Gebiet, das sich besonders für numerische Simulationen in realen Anwendungen wie Ingenieurwissenschaften und verschiedenen naturwissenschaftlichen Disziplinen eignet. Hier werden PDEs oft auf z.B. eine physikalische Größe parametrisiert. Darüber hinaus ist es wahrscheinlich, dass das wiederholte Lösen mit numerischen Standardmethoden wie die Finite-Elemente-Methode (FEM) als zu kostspielig oder sogar unzugänglich angesehen wird. In dieser Dissertation präsentieren wir die jüngsten Fortschritte bei Methoden zur Modellreduction mit dem primären Ziel, online-effiziente reduzierte Ersatzmodelle für parametrisierte Mehrskalenproblemen zu konstruieren und Methoden zur Optimierung von PDE-bedingten Parameter Problemen zu beschleunigen. Insbesondere stellen wir mehrere verschiedene adaptive RB-Ansätze vor, die in einem error-aware Trust-Region-Framework für eine progressive Konstruktion eines Ersatzmodells verwendet werden können, das in einer zertifizierten äußeren Optimierungsschleife verwendet wird. Darüber hinaus erarbeiten wir verschiedene Erweiterungen für den Trust-Region-Reduced-Basis (TR-RB)-Algorithmus und verallgemeinern ihn für Parameterbedingungen. Dank der a-posteriori Fehlertherorie des reduzierten Modells kann der resultierende Algorithmus in Bezug auf das High-Fidelity Modell als zertifiziert angesehen werden. Darüber hinaus verwenden wir den first-optimize-then-discretize Ansatz, um das zugrunde liegende Optimalitätssystem des Problems maximal auszunutzen. Im ersten Teil dieser Arbeit basiert die Theorie auf globalen RB-Techniken, die eine FEMDiskretisierung als High-Fidelity-Modell verwenden. Im zweiten Teil konzentrieren wir uns auf lokalisierte Modellordnungsreduktionsmethoden und entwickeln ein neuartiges online effizientes reduziertes Modell für die lokalisierte orthogonale Zerlegung (LOD) Mehrkalenmethode. Das reduzierte Modell basiert intern auf einer zweiskalen-Formulierung der LOD und ist insbesondere unabhängig von der Grob- und Feindiskretisierung der LOD. Der letzte Teil dieser Arbeit widmet sich der Kombination beider Ergebnisse zu TR-RBMethoden und lokalisierten RB-Ansätzen für die LOD. Wir stellen einen Algorithmus vor, der adaptive Localized-Reduced-Basis-Methoden im Rahmen eines Trust-Region-Localized-Reduced- Basis (TR-LRB)-Algorithmus verwendet. Dabei wird den Grundgedanken des TR-RB gefolgt, auf FEM-Auswertungen der beteiligten Systeme jedoch gänzlich verzichtet. Wir werden numerische Experimente mit wohldefinierten Benchmark-Problemen verwenden, um die vorgeschlagenen Methoden gründlich zu analysieren und ihre jeweilige Stärke im Vergleich zu Ansätzen aus der Literatur aufzuzeigen.