Modelltheorie bewerteter Körper mit Endomorphismus

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Beschreibung

Das Ziel dieses Forschungsprojekts ist ein modelltheoretisches Verständnis bewerteter Differenzenkörper mit nicht-surjektivem Endomorphismus. Die Modelltheorie bewerteter Körper mit Automorphismus, insbesondere in dem von Bélair-Macintyre-Scanlon behandelten Kontext des Witt-Frobenius-Automorphismus, wurde in den letzten 15 Jahren intensiv erforscht. Hierbei konnten Ax-Kochen-Ershov-Prinzipien für eine Reihe von Klassen σ-henselsch bewerteter Differenzenkörper gezeigt werden. Wir planen, diese Resultate auf den nicht-surjektiven Fall zu verallgemeinern. In Analogie zum Witt-Frobenius-Automorphismus sind die zentralen Beispiele in unserer Untersuchung Cohenkörper über imperfekten Restklassenkörpern, versehen mit einem Lift des Frobenius-Endomorphismus. Die Modelltheorie der Cohenkörper wurde erst vor Kurzem von Anscombe-Jahnke entwickelt. Um Resultate im Stil des Transferprinzips von Ax-Kochen-Ershov in unserem Kontext zu zeigen, müssen wir zunächst den Äquicharakteristik 0 Fall betrachten. Dieser Fall ist auch für sich genommen von Interesse, da er die asymptotische Theorie der Cohenkörper mit Frobenius-Lift umfasst. Wir interessieren uns insbesondere für relative Vollständigkeit und für Resultate, die einen Transfer von Entscheidbarkeit und modelltheoretischen Zahmheitsbedingungen von der Wertegruppe und dem Restklassen-Differenzenkörper auf den bewerteten Differenzenkörper ermöglichen. Darüber hinaus möchten wir Modellbegleiter für verschiedene Unterklassen identifizieren. Weitere natürliche Beispiele σ-henselsch bewerteter Differenzenkörper sind Ultraprodukte separabel abgeschlossener bewerteter Körper mit Frobenius-Endomorphismus. In diesem Kontext ist der Endomorphismus keine Isometrie und der auf der Wertegruppe induzierte Automorphismus ist ω-wachsend. Nach einem Resultat von Chatzidakis-Hrushovski ist der zugehörige Restklassen-Differenzenkörper existenziell abgeschlossen als Körper mit ausgezeichnetem Endomorphismus. Wir beabsichtigen, das analoge Resultat für den bewerteten Differenzenkörper zu zeigen - genauer dessen existenzielle Abgeschlossenheit in einer natürlichen Sprache - und hieraus die Existenz sowie eine explizite Axiomatisierung des Modellbegleiters zu folgern.