Quantum Field Theoretic and Combinatorial Perspectives on Intersection Numbers on the Moduli Space of Complex Curves: Explicit calculations in the Quartic Kontsevich Model & logarithmic concavity

Der Modulraum komplexer Kurven, beziehungsweise Riemannscher Flächen, weist eine rekursive Struktur auf, welche in der Untersuchung dieses Modulraums weitre- ichend genutzt wurde. In dieser Thesis werden algebraisch-geometrische Invarianten, welche aus dem Englischen intersection numbers oder auch Schnittzahlen genannt werden, mit dem quartischen Kontsevich-Modell sowie dem LSZ-Modell in Verbindung gesetzt. Der Ursprung beider Matrixmodelle, welche in einem speziellen Grenzwert quantenfeldtheoretisch betrachtet werden können, sind zumindest bis zu der Suche nach einer vereinheitlichten physikalischen Theorie unseres Universums zurückzuver- folgen, da beide als nicht-triviale, welchselwirkende Modelle auf nicht-kommutativem Raum konstruiert sind. Da die algebraischen Strukturen jedoch in dem Matrixmodell, nicht in dem angesprochenen Grenzprozess, zu beobachten sind, wird hier ersteres untersucht. Mithilfe des universellen Prinzips der Topologischen Rekursion werden explizite Ausdrücke für Korrelationsfunktionen niedrigen topologischen Typs gefun- den, welche deren Abhängigkeit zu den Schnittzahlen beschreiben. Während das LSZ Modell, welches ein Matrixmodell komplexer Matrizen ist, im Rahmen der ur- sprünglichen Topologischen Rekursion betrachtet werden kann, erfordert dessen her- mitesches Analogon, das quartische Kontsevich-Modell, aufgrund der komplizierteren Schleifengleichungen eine Verallgemeinerung, welche im Englischen blobbed topologi- cal recursion genannt wird. Die zusätzlichen Informationen dieser allgemeineren For- mulierung werden für Korrelationsfunktionen niedrigen topologischen Typs explizit im quartischen Kontsevich-Modell hergeleitet und bereitgestellt. Damit kann zukünftige Forschung bezüglich der integrierbaren Struktur des quartischen Kontsevich-Modells (im Sinne der japanischen Schule) auf einem fundierten Verständnis der Verbindung zu Schnittzahlen aufbauen. Auch dieser zu untersuchenden integrierbaren Struktur liegt die rekursive Natur der untersuchten Systeme zugrunde. Diese teilt auch das kubische Analogon, das Kontsevich- Modell, welches die Schnittzahlen des Modulraums kodiert. Eine weitere Perspektive darauf stellt eine Beziehung zwischen Schnittzahlen des Modulraums und der Ehrhart- Theorie aus der Kombinatorik dar, welche die Zählung von Gitterpunkten in Poly- topen beschreibt. In einem eingeschränkten Rahmen können hier natürliche Fragen bezüglich der Bedeutung und Darstellung von den zu Schnittzahlen korrespondieren- den Polytopklassen angegangen werden, indem explizite Daten ermittelt werden um, diese zu charakterisieren. Dabei wird nicht nur eine Interpretation der Daten durch einen speziellen Typ von Partitionen gefunden, welche konsekutiv geordnete Partitions- folgen genannt werden, sondern auch interessante Muster wie logarithmische Konkav- ität beobachtet. Diese Eigenschaft der Ehrhart-theoretischen Daten, welche auf ver- schiedene Art und Weisen bewiesen wird, spiegelt die signifikanten und tiefgreifenden Strukturen des Modulraums der Riemannschen Flächen wider.