Numerical multiscale methods for Maxwell's equations in heterogeneous media

In dieser Arbeit präsentieren wir neue numerische Mehrskalen-Methoden für Probleme, die aus den zeitharmonischen Maxwell-Gleichungen in heterogenen Medien entstehen. Diese Probleme werden für die Modellierung elektromagnetischer Wellenausbreitung, zum Beispiel im Kontext photonischer Kristalle, benutzt. Solche Materialien können ungewöhnliche optische Eigenschaften aufweisen, wobei wir besonders an negativer Brechung interessiert sind. Obwohl dieses Phänomen und seine Auswirkungen in vielen physikalischen Experimenten studiert worden sind, steht das mathematische Verständnis dieses Themas noch am Anfang. Als ersten Schritt betrachten wir elliptische Probleme mit heterogenen Koeffizienten, bei denen die doppelte Anwendung der Rotation den Differentialoperator bildet. Die zugehörigen Lösungen haben typischerweise sehr geringe Regularität und numerische Standardverfahren konvergieren mit beliebig schlechter Rate. Für lokal periodische Probleme präsentieren wir eine Heterogene Mehrskalen-Methode und beweisen a priori Fehlerabschätzungen. Numerische Experimente bestätigen die Konvergenzraten und zeigen die Anwendbarkeit der Methode. Um allgemeinere Koeffizienten zu behandeln, konstruieren wir eine generalisierte Finite-Elemente-Methode im Sinne der Lokalisierten Orthogonalen Zerlegung. Die Methode zerlegt die exakte Lösung in einen grobskaligen Anteil (aufgespannt durch Standard-Finite-Elemente-Funktionen) und einen feinskaligen Anteil. Ein stabiler Korrektor, der quasi-lokal und daher effizient berechenbar ist, ermöglicht es, nötige feinskalige Merkmale der Lösung darzustellen und zu extrahieren. Wir zeigen, dass diese Konstruktion optimale Approximationseigenschaften in Energie- und dualen Normen besitzt. Als nächsten und weitaus herausfordernderen Schritt Richtung negativer Brechung betrachten wir (indefinite) Streuprobleme mit periodischen Koeffizienten mit hohem Kontrast. Dabei haben periodisch angeordnete Einschlüsse einen wesentlich kleineren Materialkoeffizienten (wie das Quadrat der Periodenlänge skaliert) als der Rest des Streuhindernisses. Homogenisierungsresultate zeigen, dass der hohe Kontrast zu ungewöhnlichen effektiven Parametern in der homogenisierten Gleichung führt. Als Konsequenz ist Wellenausbreitung innerhalb des Streuhindernisses für gewisse Wellenzahlen physikalisch verboten; dieser Effekt wird auch Bandlücke genannt. Bei der Analyse der homogenisierten Formulierung beweisen wir insbesondere neue Stabilitätsabschätzungen (explizit in der Wellenzahl) für Lösungen der Helmholtz- und Maxwell-Gleichungen. Für die numerische Behandlung führen wir eine Heterogene Mehrskalen-Methode ein, für die wir inf-sup-Stabilität, Quasi-Optimalität und a priori Fehlerabschätzungen zeigen. Diese Resultate gelten unter einer (Standard-)Auflösungsbedingung zwischen der Wellenzahl und der Gitterweite. Numerische Experimente bestätigen die Konvergenzraten und erklären das physikalische Phänomen der Bandlücken. Die gesamte Dissertation ist hier verfügbar.