SPP 2026 - Teilprojekt: Topologische und äquivariante Rigidität mit unterer Krümmungsschranke

Grunddaten zu diesem Projekt

Beschreibung

Wirkungen kompakter Gruppen auf Mannigfaltigkeiten wurden seit langer Zeit untersucht und sind bereits ziemlich gut verstanden. Der allgemeinere Fall der Gruppenwirkungen auf metrische bzw. singuläre Räume wird heutzutage meistens im Kontext nicht-positiv gekrümmter metrischer Räume erforscht. Allerdings sind isometrische Gruppenwirkungen auf Alexandrov-Räume (mit von unten beschränkter Krümmung) wichtig für verschiedene Bereiche moderner Geometrie. Solche metrischen Räume enthalten z.B. Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit unterer Schnittkrümmungsschranke und einer isometrischen Gruppenwirkung. Besonders interessant in der Riemannschen Geometrie sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver oder nicht-negativer Schnittkrümmung, die eine isometrisch kompakte Liegruppenwirkung haben. Ein Grund dieses Interesses ist das sogenannte Grove-Programm, welche die Klassifizierung positiv bzw. nicht-negativ gekrümmter Mannigfaltigkeiten, die eine große Isometriegruppe besitzen, vorhat.Die Gruppenwirkung auf Mannigfaltigkeiten, die am einfachsten zu betrachten sind, sind die Wirkungen kompakter abelscher Liegruppen positiver Dimension, d.h. Tori. Aktuell ist die Theorie differenzierbarer Toruswirkungen gut entwickelt. Im Rahmen der Riemannschen Geometrie, insb. des Grove-Programms, wurden Toruswirkungen auf positiv gekrümmte Mannigfaltigkeiten breit untersucht. Dank der Arbeit von verschiedenen Autoren, insb. Grove und Searle, Fang und Rong, und Wilking, gibt es größtenteils vollständige Klassifizierungen, wenn die Mannigfaltigkeit, oder die entsprechende Toruswirkung, genügend groß ist. Im Falle einer Kreiswirkung, bzw. 2-Toruswirkung, in Dimension 5, bzw. 6, sind bisher die Standardmethoden unerfolgreich gewesen, um eine topologische oder äquivariante Klassifizierung zu erhalten.Nimmt man als Ausgangspunkt das Grove-Programm und die gut entwickelte Theorie der kohomologischen Methoden für differenzierbare Toruswirkungen auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten, zielt der vorliegende Antrag darauf ab, einerseits äquivariante topologische Methoden im Rahmen der Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit einer unteren Krümmungsschranke anzuwenden und zu entwickeln und, andererseits, abgeschlossene kohomogenität-eins Alexandrov-Räume zu untersuchen. Die primären Ziele sind im ersten Fall, abgeschlossene, einfach zusammenhängende 6-Mannigfaltigkeiten mit einer isometrischen 2-Toruswirkung topologisch und äquivariant zu klassifizieren und zweitens, abgeschlossene, positiv gekrümmte Alexandrov-Räume der Kohomogenität eins zu klassifizieren. Um diese Probleme zu lösen, müssen viele andere in sich geschlossene und interessante Probleme auch gelöst werden.