SPP 2026 - Teilprojekt: Diffeomorphismen und die Topologie positiver skalarer Krümmung

Grunddaten zu diesem Projekt

Beschreibung

Ein Hauptziel der geometrischen Topologie ist es, den Zusammenhang zwischen der Topologie einer glatten Mannigfaltigkeit M und der auf M möglichen Geometrie (Riemannsche Metriken) zu verstehen. In diesem Projekt soll genauer der Zusammenhang der Geometrie mit der Topologie der Diffeomorphismengruppe studiert werden.Ein Großteil der bekannten Resultate über Diffeomorphismengruppen ist abstrakt homotopietheoretischer und nicht geometrischer Natur. In einem Teil dieses Projektes soll die aus der Homotopietheorie stammende Information in speziellen Fällen konkret geometrisch realisiert werden.Diese Information soll weiter dazu verwendet werden, die Wirkung der Diffeomorphismengruppe auf dem Raum Pos (M) der Riemannschen Metriken positiver Skalarkrümmung auf M zu untersuchen.Die konkreteren Ziele des Projektes lauten zusammengefasst:* Erhalte Information über den Homotopietyp von Diff (M), für spezielle M. Der klassische Zugang zu dieser Frage basiert auf unstabiler Homotopietheorie, Glättungstheorie und anderen Techniken der algebraischen und geometrischen Topologie.*Entwickle Methoden, um den Effekt der Wirkung auf Pos(M) zu verstehen. Hierfür kommt die Gromov-Lawson-Chirurgietechnik sowie indextheoretische Methoden in Betracht.*Die Konstruktion von Konkordanzversionen des Raumes Pos(M), welche besser für Berechnungen geeignet ist, sowie der Vergleich dieser Konkordanzräume mit Pos(M).*Finde explizite geometrische Konstruktionen für Elemente in den Homotopiegruppen von Pos(M)).*Starrheitsresultate für die Wirkung von Diff (M) auf Pos(M). In einigen Fällen ist bekannt, dass diese Wirkung durch eine geeignete Kobordismenkategorie faktorisiert, und wir erwarten, interessante Familien von Diffeomorphismen zu finden, welche trivial auf Pos (M) wirken.*Schließlich sollen ähnliche Fragen auf nichtkompakten Mannigfaltigkeiten untersucht werden: die Gruppe der Diffeomorphismen mit kompaktem Träger operiert auf Pos (M), wobei in diesem Zusammenhang Pos(M) der Raum der vollständigen Metriken mit gleichmäßig positiver Skalarkrümmung sei. Hierbei sollen neue Methoden aus der groben Indextheorie zum Einsatz kommen.