SFB 1442: Geometrie: Deformation und Rigidität

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Beschreibung

In der modernen Mathematik spielt die Geometrie eine fundamentale Rolle sowohl als Fachgebiet als auch als Werkzeug. Einerseits sind viele der wichtigsten offenen Fragen der Mathematik geometrischer Natur. Andererseits lassen sich viele abstrakte mathematische Probleme aus einem geometrischen Blickwinkel untersuchen. Die geometrische Darstellung eines Problems macht oft Lösungswege sichtbar und ermöglicht den Transfer geometrischer Methoden auf abstrakte mathematische Probleme. Deformationen und Rigidität sind zwei—widerstreitende—geometrische Konzepte, die in vielen abstrakten Situationen einen solchen fruchtbaren Transfer von Methoden erlauben. Hierbei beschreiben Deformationen stetige Familien von mathematischen Objekten. Beispiele sind Zeitentwicklungen von geometrischen Formen oder abstrakten Systemen. Die Menge aller möglichen Deformationen eines mathematischen Objekts bildet selbst einen Deformations- (oder Modul-)Raum, der dann wiederum die tiefere mathematische Struktur des zugrundeliegenden mathematischen Objektes beleuchtet. Mathematische Objekte, die keine Deformationen zulassen, heißen rigide oder starr. Grob gesprochen ist Rigidität das folgende Phänomen: Objekte, die ungefähr gleich aussehen, sind tatsächlich echt gleich. Daher spielt Rigidität bei Klassifikationsresultaten eine wichtige Rolle. Das Ziel unseres Forschungsprogramms kann wie folgt zusammengefasst werden: Wir werden die Geometrie sowohl als Fach und als auch als kraftvolles Werkzeug in der theoretischen Mathematik vorantreiben, wobei die Dichotomie zwischen Deformationen und Rigidität im Mittelpunkt steht. Diese einheitliche Perspektive wird genutzt, um tiefliegende Methoden und Einsichten zwischen verschiedenen mathematischen Gebieten anwendbar zu machen und wissenschaftliche Durchbrüche zum Beispiel im Langlands-Programm, im Verständnis positiv gekrümmter Mannigfaltigkeiten, K-Theorie, Gruppentheorie und im Bereich der C*-Algebren zu erreichen.