Lange Extender, Varsovian Modelle, Kombinatorik

Grunddaten zu diesem Projekt

Beschreibung

Die Theorie der inneren Modelle untersucht canonische Modelle von Großkardinalzahlen -- besondere Formen der Unendlichkeit sind. Die Modelle heißen Mäuse. Wir betrachten drei Themen: 1. Mäuse mit langen Extendern. Die Großkardinalzahlen erscheinen in Mäuse durch Menge die Extender heißen, welche Systeme von Ultrafiltern sind. Extender können kurz oder lang sein, und die kurze Extender sind einfacher. Die bisher meist untersuchte Mäuse sind aus nur kurzen Extendern gebaut. In den letzten Jahren gab es aber gute Fortschritt mit Modellen, die aus langen Extender gebaut sind. Es gibt jedoch verschiedene Fragen darüber, die noch nicht geantwortet wurde, und wir interesieren uns, einige diese zu forschen. 2. Varsovian Modelle. Ein Maus sollte iterierbar sein, was sehr grob aussagt, dass die Maus gestreckt und genau untersucht werden kann, ohne die Maus zu brechen. Mäuse mit groß genug Großkardinalzahlen können aber selbst nicht iterieren, die Methode dafür ist zu kompliziert dafür. Man kann aber eine zweite Art von Mäusern bauen, die aus beide Extendern und dieser "Iteration-Strategie" gebaut werden sind. In den letzten Jahren waren eine neue Art von solchen Modellen entdeckt, die Varsovian (Warschausiche) Modelle. Diese Modelle haben wichtige Verbindung zu verschiedene Fragen in der inneren Modelle Theorie - zur Selbstiterierbarkeit, Ordinal-Definierbarkeit und Mengentheoretische Geologie. Wir wollen einige besondere Fragen bezüglich dieser Modelle untersuchen. 3. Kombinatorik. Aussagen in der Mengenlehre werden oft verglichen, bezüglich ihrer Starkheit, nicht nur direkt logisch, aber genereller, bezüglich Konsistenz: Für gegebene Theorien S und T (in der Logik der 1. Stufe) S ist ≥ T in Konsistenz-Starkheit, falls wenn S konsistent ist, dann so auch T. Typischerweise, man zeigt dies, in dem man ein Modell der Theorie S annimmt, und daraus ein Modell der Theorie T konstruiert. In der Mengenlehre vergleicht man oft Theorien der Form T = ZFC + φ, wobei φ eine Formel der 1. Stufe ist. Also könnte φ z.B. das Kontinuumshypothese aussagen. Die Theorie der inneren Modelle (diese Anwendung des Begriffs Theorie ist wie die übliche Wissenschaftliche Bedeutung, nicht die formale Theorien S, T der 1. Stufe wie oben) liefert uns im Wessentlichen unsere beste Methode, um die unteren Grenzen der Konsistenz-Starkheit von Theorien der Form ZFC + φ zu bestimmen. Man nimmt ein Modell der Theorie ZFC + φ an, und baut deraus ein Modell der Form ZFC + LC, wobei LC die Existenz eine besondere Großkardinalzahl behauptet. Größere Großkardinalzahlen sind konsistenzweise stärker. Das Modell, das gebaut wird, ist (typischerweise) eine Maus. Es gibt verschiedene interesannte Aussagen φ, wobei die bisher verstandene untere und obere Grenzen sehr weit entfernt sind, und die Methoden der Theorie der inneren Modelle haben eine gute Chance, die untere Grenze da zu verbessern, und wir interessieren uns, einige solche Fragen zu untersuchen. (Bemerkung: Das Projekt ist als Zusammenarbiet mit PhD-Student beabsichtigt. Der Förderungsantrag enthält präzisere Information über die besonderen Zielfragen. Insgesamt gibt es aber viele mögliche Probleme zu untersuchen, wahrscheinlich genug für mehrere PhDs und noch mehr. Gehoffen wird, dass wir einen Teil davon erreichen.)