HyperCut – Stabilisierte DG Methoden für hyperbolische Erhaltungsgleichungen auf Cut-Cell Gittern

Grunddaten zu diesem Projekt

Beschreibung

Das Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung neuer Methoden zur Lösung zeitabhängiger, hyperbolischer Probleme erster Ordnung, insbesondere der kompressiblen Euler Gleichungen, auf komplex berandeten Gebieten.In praktischen Anwendungen ist die Gittererzeugung ein großes Problem. Für Anwendungen mit komplizierten Geometrien ist die Konstruktion geometrie-angepasster Gitter ein komplizierter und zeitaufwändiger Prozess.In diesem Antrag verfolgen wir einen anderen Ansatz: In den letzten zwei Jahrzehnten haben sogenannte "Cut-Cell" Verfahren viel Interesse geweckt, da sie die Gittergenerierung wesentlich vereinfachen. Die Idee ist es, die Geometrie einfach aus einem strukturiertenHintergrundgitter herauszuschneiden. Die dadurch erzeugten "Cut-Cells" können verschiedene Formen annehmen und sind größenmäßig nicht nach unten beschränkt. Im Vergleich zu geometrie-angepassten Gittern kann diese Konstruktion vollautomatisch durchgeführt werden. Jedoch weisen gewöhnlich verwendete explizite Verfahren Stabilitätsprobleme auf, wenn sich die Wahl der Zeitschrittgröße am Hintergrundgitterorientiert und nicht kleine Cut-Cells berücksichtigt. Dies ist das sogenannte "small cell problem".Auf Standard-Gittern wurden Finite Volumen (FV) als auch Unstetige Galerkin (DG) Verfahren erfolgreich zur Lösung nicht-linearer hyperbolischer Erhaltungsgleichungen verwendet. Während mehrere Ansätze existieren um FV Verfahren auf Cut-Cell Gittern mit expliziten Zeitschrittverfahren zu nutzen, ist dies nicht der Fall für DG Verfahren.Das Ziel dieses Antrags ist die Entwicklung eines stabilen DG Verfahrens zur Lösung zeitabhängiger hyperbolischer Erhaltungsgleichungen, insbesondere der kompressiblen Euler Gleichungen, auf Cut-Cell Gittern unter der Verwendung expliziter Zeitschrittverfahren.Wir suchen dabei ein Verfahren, das(1) das "small cell problem" löst und explizite Zeitschrittverfahren ermöglicht,(2) Massenerhaltung erhält,(3) höhere Genauigkeit, auch entlang des Randes, aufweist,(4) zentrale Eigenschaften wie Monotonie und TVDM Stabilität (für Modellprobleme) erfüllt,(5) für nichtlineare hyperbolische Erhaltungsgleichungen, insbesondere für die kompressible Euler Gleichungen, funktioniert,(6) robust ist bei der Behandlung von Stößen und Unstetigkeiten,(7) und ausreichend einfach in höheren Dimensionen implementierbar ist.Wir nutzen eine räumliche DG Diskretisierung um höhere Genauigkeit zu erhalten. Unser Ziel ist die Entwicklung neuer Stabilisierungsterme zur Lösung des "small cell problems". Dabei bauen wir auf unsere aktuelle Arbeit zur Stabilisierung eines DG Verfahrens für linearen Transport für stückweise lineare Polynome auf. Wir werden diese in verschiedene Richtungen ausbauen, zum einen zu nicht-linearen Problemen und zum anderen zu Ansätzen höherer Ordnung, insbesondere stückweise quadratischer Polynome.Unsere Methoden werden wir innerhalb des Software frameworks DUNE implementieren und unter einer Open-Source Lizenz veröffentlichen.