Homogenisierung und elliptische Approximation von zufälligen Funktionalen mit freien Unstetigkeitsstellen

Grunddaten zu diesem Projekt

Beschreibung

Natürliche und technisch hergestellte Verbundstoffe besitzen typischerweise eine unglaublich komplexe Mikrostruktur. Um diese Komplexität zu reduzieren, müssen in der Modellierung von Materialien sinnvolle Idealisierungen vorgenommen werden. Zufällige Verbundstoffe stellen eine relevante Klasse solcher Idealisierungen dar. Motiviert durch grundlegende Fragen in der variationellen Theorie von (statischem) Bruch, ist das wesentliche Ziel dieses Forschungsprojekts, das großskalige Verhalten von zufälligen, elastischen Verbundstoffen zu untersuchen, die Brüche ausbilden können.Vom mathematischen Standpunk bedeutet dies, eine stochastische Homogenisierungstheorie für skalenabhängige Energiefunktionale mit freien Unstetigkeiten zu entwickeln.Die Untersuchung des Limesverhaltens von zufälligen Funktionalen mit freien Unstetigkeitsstellen steckt noch sehr in den Anfängen. Das bisher einzige allgemeine stochastische Homogenisierungsresultat im Rahmen von SBV Funktionen wurde 2017 in [CDMSZ17-2] bewiesen. Dieses Projekt startet von diesem kürzlich erzielten Resultat and hat zum Ziel, eine umfassende qualitative Theorie der stochastischen Homogenisierung für Funktionale mit freien Unstetigkeitsstellen zu entwickeln. Dies wird durch die Verbindung zweier komplementärer Zugänge erreicht, einem "direkten" Zugang und einem "indirekten" Approximationszugang. Der direkte Zugang wird darin bestehen, die SBV-Theorie in [CDMSZ17-2] auf den BV Fall und den Fall degenerierter Koeffizienten zu erweitern. Letzterer ist beispielsweise relevant in der Untersuchung von Bruch in perforierten Materialien oder in brüchigen Verbundstoffen mit hohem Kontrast. Der Approximationszugang hingegen wir darin bestehen, geeignete Phasenfeld-Approximationen der zufälligen Funktionale mit freien Unstetigkeitsstellen vorzuschlagen, die reguläre Approximationen der homogenisierten Koeffizienten liefern und daher den Weg für die Entwicklung einer quantitativen Homogenisierungstheorie bereiten.