SPP 1962 - Teilprojekt: Nichtglatte und nichtkonvexe Optimale Transport-Probleme

Grunddaten zu diesem Projekt

Beschreibung

Die mathematische Untersuchung und Benutzung sogenannter "branched transport"-Modelle erfreut sich in letzter Zeit immer größerer Beliebtheit. Diese erlauben eine Beschreibung von Transportnetzwerken wie etwa Straßensystemen, Flussbecken, Kommunikationsnetzwerke, Gefäßsysteme und Netzwerke in diversen anderen natürlichen und künstlichen Kontexten. Wie in klassischem Optimalen Transport muss eine Materialmenge effizient von einer gegebenen Anfangs- zu einer End-Verteilung transportiert werden. In branched transport sind jedoch die Transportkosten nicht proportional, sondern subadditiv in der transportierten Menge. Dies modelliert eine erhöhte Transporteffizienz für den Transport größerer Materialmengen und begünstigt daher automatisch Transportpläne, in denen der Materialfluss gebündelt wird und dann in einem komplizierten, verzweigten Netzwerk eindimensionaler Linien stattfindet. Das branched transport Problem ist ein schwieriges nichtkonvexes, nichtglattes Variationsproblem für den Materialfluss beschreibende Radonmaße (genauer normal currents). Verschiedene Formulierungen wurden entwickelt und analysiert (unter anderem auch durch die PIs), diese betrachten das Problem jedoch fast ausschließlich aus der Perspektive der geometrischen Maßtheorie (und arbeiten daher mit flat chains oder Wahrscheinlichkeitsmaßen auf dem Raum der Lipschitzkurven oder ähnlichem). Die Sicht der Optimierung und Optimalsteuerung fehlt vollständig (auch wenn einige Ideen der mathematischen Optimierung in den existierenden variationellen Argumenten durchscheinen wie z.B. die Regularitätsanalyse mit Hilfe von notwendigen Optimalitätsbedingungen oder das mit dualen Variablen verwandte Konzept der calibration). Diese Situation spiegelt sich auch in der Tatsache wider, dass Numerik für branched transport eher unterentwickelt ist und sich auf ad hoc Graph-Optimierung für Spezialfälle und auf zweidimensionale Phasenfeldapproximationen beschränkt. Wir werden branched transport aus Optimierungssicht umformulieren, diese Sicht in der variationellen Untersuchung von branched transport-Netzwerken ausarbeiten und die Ergebnisse für neuartige numerische Verfahren ausnutzen. Die neue Perspektive wird gleichzeitig für Analytiker in der Variationsrechnung von Interesse sein, das Verständnis bestimmter nichtglatter, nichtkonvexer Optimierungsprobleme für Maße voranbringen sowie numerische Methoden zur Berechnung effizienter Transportnetzwerke liefern.