Musterbildung unter dem Einfluss von Massenerhaltung Von passiven zu aktiven Modellen

Wenn Teilchen weder verbraucht noch erzeugt werden können, ist das System teilchen-, bzw.\ masseerhaltend. In der vorliegenden Arbeit widmen wir uns der Frage, wie Massenerhaltung Musterbildung in räumlich ausgedehnten Systemen beeinflusst. Dazu verwenden wir verschiedene Kontinuumsmodelle, genauer sogenannte ``mean-field''-Modelle, und untersuchen analytisch ihr lineares und schwach nichtlineares Verhalten. Ergänzt wird dies durch Untersuchungen stationärer Muster, lokalisierter Zustände, koexistierender Phasen und zeitperiodischen Verhaltens im vollständig nichtlinearen Regime mittels numerischer Pfadkontinuierung und Zeitsimulation. Wir untersuchen passive und aktive Modelle, d.h.\ Modelle, die eine Gradientendynamikstruktur aufweisen, bzw.\@ Modelle, bei denen diese Struktur gebrochen ist. Bei letzteren werden nicht-reziproke Interaktionen eingeführt, die das dritte Newtonsche Gesetz aufheben und einem Räuber-Beute-Interaktionsschema ähneln. Dies entspricht einem Energiefluss in das System und beschreibt somit aktive, also beispielsweise lebende Materie. Neben den spezifischen Ergebnissen liefert die vorliegende Arbeit auch konzeptionelle Erkenntnisse bzgl.\@ der Rolle von Massenerhaltung in musterbildenden Systemen. Im ersten Teil wird die bisher verwendete Klassifizierung der linearen Instabilitäten, die den Beginn der Musterbildung beschreiben, zusammengefasst und ergänzt. Infolgedessen können acht grundlegende lineare Instabilitäten unterschieden werden, wobei in vieren Erhaltungsgesetze beteiligt sind. Außerdem betrachten wir die entsprechenden Amplitudengleichungen, die das schwach nichtlineare Regime beschreiben, und erörtern in sieben der acht Fälle kurz ihre Phänomenologie. Wir identifizieren die konservierte Hopf Instabilität, eine großskalige oszillatorische lineare Instabilität mit zwei Erhaltungsgesetzen, als den achten Fall, für den noch keine Amplitudengleichung bestimmt wurde. Durch eine detaillierte schwach-nichtlineare Analyse bestimmen wir das allgemeine nicht-reziproke Cahn-Hilliard Modell als die fehlende Amplitudengleichung. Es ist ein Zwei-Spezies Modell, bei dem jede Spezies konserviert ist, d.h. durch eine Kontinuitätsgleichung beschrieben wird. Im ungekoppelten Grenzfall erhält man zwei klassische Cahn-Hilliard Gleichungen, im allgemeinen Fall sind diese asymmetrisch, d.h.\ nichtreziprok gekoppelt. Im zweiten Teil betrachten wir zwei grundlegende Prozesse mit Massenerhaltung, nämlich Phasentrennung und Kristallisation, die durch die Cahn-Hilliard bzw.\@ die Phasenfeld-Kristall Gleichung modelliert werden. Wir untersuchen die Gleichgewichtszustände in der Nähe des entsprechenden Phasenübergangs, untersuchen ihre Bifurkationsstruktur in endlichen Systemen und beleuchten die Entstehung der Maxwell Konstruktion im thermodynamischen Limit. Im dritten Teil führen wir phänomenologisch das allgemeine nicht-reziproke Cahn-Hilliard Modell als ein plausibles aktives Materiemodell mit einem wohlbekannten passiven, d.h.\@ ``toten'' Limit wieder ein. Wir untersuchen sein lineares Regime, in dem im aktiven Fall ein vielfältiges Verhalten anzutreffen ist, das konservierte Turing und konservierte Hopf Instabilitäten beinhaltet. Dabei stellen wir eine 1:1-Entsprechung zwischen dem Auftreten von primären Instabilitäten in konservierter und nicht konservierter Dynamik fest. Dann fahren wir mit der Analyse des vollständig nichtlinearen Verhaltens für die spezifische Wahl einer linearen Kopplung fort. Wir untersuchen, wie die Vergröberung, d.h.\ der Phasentrennungsprozess der ursprünglichen Cahn-Hilliard Gleichung in dem nicht-reziproken Zwei-Spezies Modell unterdrückt wird und identifizieren drei Mechanismen. Außerdem untersuchen wir das Phasenverhalten im reziproken Fall und zeigen, dass die lineare Kopplung es uns ermöglicht, aktive Pendants zu chemischen Potentialen und Druck auch im nicht-reziproken Fall zu definieren. Darüber hinaus behandeln wir das vollständig nichtlineare Verhalten in der Nähe der konservierten Hopf Instabilität, das z.B. zu großskaligen Oszillationen und zu (moduliert) bewegten phasengetrennten Zuständen führt. Ebenfalls untersuchen wir lokalisierte Zustände im Zusammenhang mit der konservierten Turing Instabilität. Wir stoßen auf das sogenannte ``homoclinic slanted snaking'', das die Bifurkations\-struktur beschreibt, und entdecken das Auftreten von räumlich lokalisierten zeitperiodischen Zuständen. Die Analyse der konservierten Hopf-Turing Resonanz, die zu einem komplizierten nicht-stationären Verhalten führt, vervollständigt unsere Studie des linear nicht-reziproken Cahn-Hilliard Modells. Im vierten und letzten Teil dieser Arbeit befassen wir uns mit der Zuverlässigkeit vereinfachter Modelle. Wir entdecken, dass unphysikalische asymmetrische stationäre Zustände häufig in verschiedenen populären minimalen aktiven Materiemodellen auftreten, zu denen das aktive Phasenfeld-Kristall Modell, das linear nicht-reziproke Cahn-Hilliard Modell und das FitzHugh-Nagumo Modell zählen. Wir bestimmen die zugrunde liegende gemeinsame Struktur, leiten eine Bedingung für das Einsetzen von Bewegung her und zeigen schließlich systematisch, wie das unphysikalische Verhalten verhindert werden kann.